Lineare Algebra interaktivEine CD mit Tausenden von Übungsaufgaben |
Was wir wissen müssen, bevor wir anfangen
können: Mengen, Äquivalenzrelationen, Abbildungen, Wann haben
zwei Mengen gleich viele Elemente?, Die Sigma-Notation,
Beweisprinzipien.
Körper: Die Definition, Beispiele von Körpern , (Der
Körper der komplexen Zahlen, Der Quaternionenschiefkörper, Einige
endliche Körper), Automorphismen von Körpern (Die Definitionen,
Der Körper der rationalen Zahlen, Der Körper der reellen Zahlen,
Konjugiert-komplexe Zahlen), Die Gaußsche Zahlenebene.
Vektorräume:
Die Definition, Beispiele von Vektorräumen (Vektorräume mit Hilfe
von Geometrie, Der Vektorraum Kn, Der Vektorraum aller mxn-Matrizen, Der
Vektorraum aller unendlichen Folgen, Ein Vektorraum unendlicher Folgen,
Vektorräume von Funktionen, Lösungen eines Gleichungssystems,
Teilmengen einer Menge, Körper als Vektorräume), Elementare Theorie
der Vektorräume (Der Begriff der Basis, Der Steinitzsche Austauschsatz,
Der Dimensionssatz, Faktorräume), Zur Geschichte der linearen
Algebra.
Anwendungen von
Vektorräumen: Affine Geometrie (Affine Räume, Unterräume),
Lineare Gleichungssysteme (Begriffe und Fragen, Exkurs über Matrizen,
Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen, Der Gaußsche
Algorithmus).
Lineare Abbildungen:
Definitionen und grundlegende Eigenschaften, Darstellung von linearen
Abbildungen durch Matrizen, Der Homomorphiesatz, Der Dualraum.
Polynomringe:
Ringe, Was ist eigentlich x?, Polynomdivision, Ideale von K[x].
Determinanten:
Die Determinantenfunktion, Permutationen, Gerade und ungerade Permutationen,
Die Leibnizsche Determinantenformel, Wie berechnet man eine Determinante?,
Der Multiplikationssatz.
Diagonalisierbarkeit: Eigenvektoren und Eigenwerte, Das charakteristische
Polynom, Das Minimalpolynom.
Elementarste
Gruppentheorie: Beispiele von Gruppen (Gruppen in bekannten Strukturen,
Gruppen aus bekannten Objekten, Gruppen aus Permutationen), Einfache
Strukturaussagen für Gruppen (Untergruppen, Zyklische Gruppen, Der
Homomorphiesatz).
Skalarprodukte:
Ein Beispiel, Bilinearformen, Skalarprodukte, Orthogonale Abbildungen, .
. . und eine zweite symmetrische Bilinearform?, Skalarprodukte komplexer
Vektorräume.
Glossar